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世界で一番はじめに考えた人はどのように考えたんだろう?〜2月教室レポート〜

2月教室レポートです。

 

※下記の要約には、講師の小野田さんの話を聞いた私(土橋)の解釈が含まれています。小野田さんの直接の発言については、黒太字に記しています。

 

 

教室前半では「測ること」、「数えること」という数学の概念について考えました。

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 「比べること」と「測ること」

 

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はじめに、上の二本の直線と曲線について、どちらが長いのかを確かめるにはどうすれば良いかということを考えました。

 

直線については、重ねることでだいたいの長さの差が分かります。

 

じゃあ曲線の方はどうやって比べるか?

 

ここでより正確に比べる為に、測るという概念が出てきます。

 

測る為にはどうすれば良いか?

 

そうすると、シンプルに考えると、一番小さいものを単位とするという発想が出てくると思います。

 

じゃあどうやって測るか?

 

皆さんも是非考えてみてください。

 

<ヒント>

曲線の端を結ぶ

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さらにピタゴラスの定理を使って、斜辺の長さをもとめる。

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この作業を無限に繰り返していき、斜辺の長さをたし合わせたものを比較すると、どちらが長いかを確かることができます。

 

これを線形近似というそうです。

 

無限に近似させていって、そうして測る。

 

これは微積分の元になった発想です。

 

2つのものをどうやって比べるか?という人間の素朴な発想が数式になっただけ。

 

2つの長さを比べるということを万人に分かるように伝えるにはどうすれば良いか?

 

もし自分が身振り手振りで伝えなくても分かるように。 

 

そうして生まれたのが数学です。

 

だから数学で証明されたことは、1億年後も変わりません。これが物理学では、新たな実験結果、観測から10年で変わってきます。他の科学もそうですね。すごいですね!数学って。

 

 

 

測ることと数えること

 

今度は「数える」ということについて考えました。

 

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さっきは、直線aと直線bの長さを比べて測るということを行いました。

 

上の図でaとbを重ねてみれば、aよりbの方が長いということが言えます。

 

今度は、aとb上に特定の点をとり対応関係を考えてみます。

 

aとbの直線の端、真ん中、さらにその真ん中と点をとり、対応させていくと、全ての点が対応しています。

 

さらにこの図の頂点では、aとbの各点が一点と対応しているように見えます。

 

長さが違うのに、どうしてこんなことが起こるのでしょうか?

 

長さを「測る」ということと、点をとり対応させる「数える」ということには何か溝があるようです。

 

ではどんな違いがあるのか?

 

 数えることを数直線に対応させて考えてみます。

 

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まず、1、2、3、、、と数えられる「自然数」があります。

 

さらにマイナスも含めると、「整数」です。 

 

次に1/2   、2/3   、 1/4など自然数を分割してできる分数「有理数」というのが考えられます。

 

でもこれだけでは、この数直線は埋まりません。

 

それは無理数が存在するからです。

 

これは、ピタゴラスの定理から発見された数です。

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ピタゴラスの定理 - Wikipedia

 

数直線の中にはこの無理数も含まれます。

 

では、無理数有理数はどちらが多いか? 

 

結論、無理数の方が多いそうです。

 

これは19世紀に活躍したドイツの数学者カントールによって証明されました。

 ゲオルク・カントール - Wikipedia

 

有理数は一対一の対応関係がつけられる集合で、これを可算と言います。

 

一方無理数はそうでない集合で非可算というそうです。

 

これについては僕自身よく理解できていないのですが、どうやら上に見た三角形の点の対応図では、有理数の観点からのみ見た図で無理数が考慮されていないものだということが分かりました。

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前半の授業ではこのようなことを皆で考えました。

 

数学は、現実からかけ離れたややこしいものではなく、人間が素朴な発想を元に誰にでも分かるるように普遍化した概念だということでした。

 

このように始め人はどのように考えたのかと素朴に考え、それを伝える為の論理的な考え方を身につけることでどんな本や論文でも一人で読めるようになってくるそうです。

 

こういったことを今後こういった内容を積極的に発信していくそうなので、

 

またこちらのブログでも紹介しますね。

 

 

 

 

教室後半は実技です。 

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フォノグラムで等音板を作っていくと、現在の心身の状態が板に現れます。 

 

そうすると、人によって全然違うものができるのではないかと思われるかもしれません。

 

でもそうはなりません。

 

尺度が変わると、測ることができませんが、同じ尺度の定規で測り続けることができれば、どんな定規を使っても、最終的には同じ状態の等音面になります。

 

どんな状態から始めても、定規を細くしていくとより精度の高いものになり、最終的に普遍的な形、状態の等音面ができるからです。

 

このように一定の尺度を持って、作っていくのが等音面です。

 

今の状態がどのような状態であっても、その状態を保ちながら作業していくことが大切になります。

 

最終的には、針の上に針を立てるような精度が必要になってくるそうです。

 

腕、足、腹、体全部で感知する力を養う必要があります。

 

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作成中の等音板。これに圧電スピーカーをつけると、共鳴力の高い音がでます。 

 

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上の図形のフォノグラム。

 

 

投稿者:土橋 健一

 

教室への参加希望、取材等のお問い合わせはこちらからお願いします。

www.tomoyuki-onoda.com